Bir Çift Kompleks Birleşik Kutuplar

Kompleks birleşik kutup çiftlerinin genlik ve faz grafikleri basit uçlarınkinden daha komplikedir. Bu transfer fonksiyonunu göz önüne alalım:

Genlik:

Genlik şu formülle verilmiştir:

Şimdi frekans değerinin kutup durumunu göz önüne alalım :

Durum 1)   w << w0 . Bu düşük frekans durumudur. Transfer fonksiyonunun genliğinin tahmini için bir fonksiyon yazabiliriz.

Düşük frekans tahmini aşağıdaki grafikte kırmızıyla gösterilmiştir.

Durum 2)   w >> w0 Bu yüksek frekans durumudur. Transfer fonksiyonunun genliğinin tahmini için bir fonksiyon yazabiliriz.

Yüksek frekans tahmini aşağıdaki grafikte yeşille gösterilmiştir.

           Bu –40dB/decade eğimli, kırılma frekansından 0 dB'de geçen düz bir çizgidir. Yani frekansın her 10 kat artırımında genlik 40dB düşmektedir.

Durum 3) w yaklaşık w0 ise, genlik grafiğindeki tepenin kırılma frekansında oluştuğu gösterilebilir. Tam yükseklik ve yer, transfer fonksiyonunun genlik ifadesinin frekansa göre türevi alınıp sıfıra eşitlenerek belirlenebilir (daha da kolaylaştırmak için, türevi almadan önce fonksiyonun karesini alınız, çünkü tepe noktası fonksiyonun karesi için de değişmeyecektir. ). Türev sonuçta şu frekans noktasında tepenin olduğunu gösterir:

Tepedeki genlik ise ;

 

            Gerçek tepe frekansı Bode diyagramlarını el ile çizerken önemli değildir, çünkü eğer tepe çizilebilecek kadar büyükse, zirve frekansı kırılma frekansına çok yakındır. Bu nokta diyagramda mavi noktayla gösterilmiştir. Not ediniz ki tepe sadece

için vardır ve tepe frekansı tipik olarak kırılma frekansına çok yakındır. Zeta = 0 için, tepe tam olarak rezonant frekansı üzerindedir, ama zeta arttıkça tepe frekansı düşer. Buna rağmen oldukça yüksek olan zeta =0.3 için bile (5 dB'lik küçük bir tepe), rezonant frekansı

ki bu kırılma frekansından sadece %9luk bir sapmadır. Tepeyi genelde rezonant frekansına koymak yeterince doğrudur.

           Parçalı lineer bir yakınsama çizebilmek için, kırılma noktasına kadar alçak frekans asimptotunun ondan sonra ise yüksek frekans asimptotunu kullanın. Düşük ve yüksek frekans asimptotları arasında tepe değerinden geçen bir eğri çizin.

Aşağıda gösterilen eğri için,

tepe 5.02 veya 14 dB'lik bir genişliğe sahip olacak.

Aşağıdaki flash animasyonda yukarıda anlatılan Asimptotları görebilirsiniz.

Neticede ulaşılan asimptotik yakınsama siyahla gösterilmiştir.

Kompleks birleşik uç çiftleri için parçalı lineer yakınsama çizmenin kuralı şöyle ifade edilebilir:

Kompleks birleşik uçların şiddet grafiği için düşük frekanslarda 0 dB çizin, yüksekliğin zirvesinden geçin,

kırılma frekansında ve sonra 40 dB/decade düşüşe geçin (yani eğim –40 dB/decade). Yüksek frekans asimptotu kırılma frekansında geçer.

Faz :

Kompleks birleşik uçların fazı şu eşitlikle verilmiştir:

Yine frekans değerinin üç durumunu dikkate alalım.

Durum 1) w << w0 . Düşük frekans durumudur. Bu frekanslarda, faz transfer fonksiyonu için bir tahmin yazabiliriz.

Düşük frekans yakınsaması aşağıdaki diyagramda kırmızıyla gösterilmiştir.

Durum 2) w >> w 0 . Yüksek frekans durumudur. Transfer fonksiyonunun tahmini ;

Yüksek frekans yakınsaması yeşille gösterilmiştir, 180º de düz bir çizgidir.

Durum 3) w = w0 . Kırlım frekansı. Bu frekansta ;

Diyagramda mavi yuvarlakla işaretlenmistir. Aşağidaki eğri için;

Yukarıda anlatılan durumların flash animasyonda gösterimi.

'dan başlayıp ' da bitecek şekilde birleştirmektir.

Eğer  zeta<0.02 ise, yakınsama sadece kırılma frekansında dik bir çizgi olabilir.

Bir çift şiddeti azaltılmış ucun fazını çizmenin kuralı şöyle ifade edilebilir;

Düşük frekans asimptotunu 'e kadar 0 º'de takip et,

Sonra yüksek frekans asimptotunu ‘de 180 º ' de karşılamak için lineer şekilde azalt.

Kısaca:

•  Kompleks birleşik uçların genlik grafikeri için, düşük frekanslarda 0 dB çiz, tepe yükseltisinden geç,

kırılma frekansından sonra 40 dB/decade'le düşüşe geç. (eğim –40dB/decade). Yüksek frekans asimptotu kırlım frekansında geçer.Tepenin sadece;

için var olduğunu da unutmayınız.

  • Faz grafiğini çizmek için düşük freakans asimptotunu 0º 'de takip edin ;

' e kadar.

Sonra lineer şekilde yüksek frekans asimptotunu 180º ve 'de karşılayacak şekilde azaltın.

Eğer   zeta <0.02 ise, yakınsama sadece kırılma frekansında dik bir çizgi olabilir.

Kompeks Birlesik Sıfır Çiftleri

Kompeks Birlesik Sıfır Çiftleri

             Kompleks sınırlar çiftinin de kompleks uç çiftlerininkiyle aynı sonuçları vermesi şaşırtıcı değildir. Farklar genliğin tepe yerine dip noktasının bulunması, genliğinin kırılma frekansının üzerinde artması ve fazın azalması yerine artmasıdır.

Örnek: Aşağıdaki grafik kompleks birleşik sıfırlara karşılık gelir ve ,

genlik grafiğindeki dip 0.2 veya –14dB'lik bir genliğe sahiptir.

Kısaca:

  • Kompleks birleşik sıfırların genlik grafikleri için, düşük frekanslarda 0 dB çiz, kırılma frekansında,

genliğindeki dip bir değerden geç ve sonra 40 dB/decade'le artışa geç. ( eğim +40dB /decade). Yüksek frekans asimptotu kırılma frekansından geçer. Tepenin sadece, için var olduğunu da unutmayınız.

  • Faz grafiğini çizmek için düşük frekans asimptotunu 0º'de takip edin

' e kadar.

Sonra lineer şekilde yüksek frekans asimptotunu 180º ve

'de karşılayacak şekilde artışa geçin.

Bode Diyagramlarını Kurmak İçin Kurallar

Bir transfer fonksiyonunun Bode diyagramını çizmek için 3 basamak vardır.

  1. Transfer fonksiyonu uygun formatta yeniden yazın.
  2. Transfer fonksiyonunu bileşenlerine ayırın.
  3. Her parça için Bode diyagramların çizin.
  4. Üçüncü kısmın sonuçlarını bir araya getirerek Bode diyagramını çizin

  1-Transfer fonksiyonu uygun formatta yeniden yazın :

Bir transfer fonksiyonu genelde şu formdadır:

             Yukarıda tartışıldığı gibi, bu fonksiyonu bölenle bölüneninin en düşük tabakası tek olacak şekilde yeniden yazmak isteriz .Birkaç örnek bunu daha iyi açıklığa kavuşturur.

Örnek-1)

Sonucun bölen ve bölünendeki en düşük üssün bir olduğuna dikkat ediniz.

Örnek-2)

Bu örnekte, bölünendeki en düşük üssün 1 olduğuna dikkat ediniz.

Örnek-3)

Bu örnekte, bölen zaten dikkate alınmıştı. Bu gibi durumlarda, dikkate alınan her terim s'in en düşük tabaka üssü olarak 1 olması gerekmektedir (bu durumda sıfır).

 2-Transfer fonksiyonunu bileşenlerine ayırın:

Örnek-1)

Bu fonksiyon ;

  • 6'da sabitte,
  • s = -10 da sıfıra ,
  • s ^2 +3s+50'nin köklerinde kompleks bileşik uçlara sahiptir .

             Kompleks bileşik uçlar s=-1.5 +-j 6.9 ( j = sqrt (-1) olmak üzere) üzerindedir. Bunu daha yaygın (ve bizim amaçlarımız için daha faydalı)  olan bir ifade şekli de ikinci derece polinom için standart ifadeyi kullanmak olur.

            Bu durumda ;

Örnek-2)

Bu fonksiyon ;

  • 3'te sabitte,
  • orijinde sıfıra ,
  • s ^2 +3s+50'nin köklerinde kompleks bileşik uçlara sahiptir .Bir başka deyişle;

Örnek-3)

Bu fonksiyon:

  • 2'te sabitte,
  • s = -10'da sıfıra,
  • s=-3 ve s=-50 de uçlara sahiptir.

  3.Her bölüm için Bode diyagramını çiziniz:

            Her parça için Bode diyagramı çizmenin kuralları burada özetlenmiştir. Kullanım kolaylığı açısından bu tablo ayrı bir sayfa olarak hazırlanmıştır. Her biri için Örnekler daha sonra verilmiştir.

Bode Grafikleri Yapmanın Kuralları

İFADE
GENLİK
FAZ
Sabit : K

Gerçek uç:

  • 0 dB'de Düşük frekans asimptotunu çizin.
  • -20 dB/decade de yüksek frekans asimptotunu çizin. Çizgileri kırılma frekansında birleştirin.
  •   0 dB'de Düşük frekans asimptotunu çizin.
  •   -90 derecede de yüksek frekans asimptotunu çizin.
  • 0.1· w0 dan 10· w 0 ‘a düz bir çizgiyle birleştirin.

 

Gerçek sıfır:

  1. 0 dB'de Düşük frekans asimptotunu çizin .
  2. +20 dB/decade de yüksek frekans asimptotunu çizin.
  3.  Çizgileri kırılma frekansında birleştirin.

(gerçek ucun ayna görüntüsü)

  1.   0 dB'de Düşük frekans asimptotunu çizin.
  2. -90 derecede de yüksek frekans asimptotunu çizin.
  3. 0.1· w0 ‘dan 10· w0 ‘a düz bir çizgiyle birleştirin .

(gerçek ucun ayna görüntüsü)

Orjindeki uç(integralci):

  • 0 dB'den w =1'de geçen -20dB/decade
  • -90 derece

Orjindeki sıfır (Türevci):  s

  • 0 dB'den w =1'de gecen +20dB/decade
(İntegral alıcının ayna görüntüsü)
  • +90 derece
(İntegral alıcının ayna görüntüsü)

Şiddeti azaltılmış uçlar (Kompleks Birlesik Uçlar) :

  • 0 dB'de Düşük frekans asimptotunu çizin.
  • -40 dB/decade de yüksek frekans asimptotunu çizin.
  • Tepe noktasını frekans

'da

Ve Genlik ;

'da çizin.

Not:

  1. Tepe noktası sadece ;

için vardır.

     2.  Tepe frekansı tipik olarak kırılma frekansına çok yakındır.

  • Çizgileri birleştirin.
  • 0 dB'de düşük frekans asimptotunu çizin .
  • -180 derecede yüksek frekans asimptotunu çizin.
  • Şu noktalar arasını düz bir çizgiyle birleştirin. ‡

Şiddeti azaltılmış sıfırlar :

  1. 0 dB'de düşük frekans asimptotunu çizin.
  2. +40 dB/decade'de yüksek frekans asimptotunu çizin.
  3. Cevap olarak;

      frekansında,

'büyüklüğünde

bir dip çizin.

Not:

  • Dip sadece ;

için vardır.

  • Dip frekansı tipik olarak kırılma frekansına çok yakındır.

      4. Çizgileri birleştirin

(Şiddeti düşürülmüş uçların ayna görüntüsü)

 

 

  • 0 dB'de düşük frekans asimptotunu çizin.
  • -180 derecede yüksek frekans asimptotunu çizin
  • Şu noktalar arasını düz bir çizgiyle birleştirin. ‡

( Eger zeta <0.02 ise, fazı kırılma frekansında 0'dan –180 dereceye dik olarak çizin.)

(Şiddeti düşürülmüş uçların ayna görüntüsü)

 

Not :

       * Sıfırları çizme kuralları aynı frekansa sahip uçlarınkinin ayna görüntüsünü (0 dB etrafında) yaratır.

        † Şiddeti düşürülmüş uçlar ve sıfırlar için Tepe,

durumunda vardır ve tepe frekansı tipik olarak kırılma frekansına çok yakındır.

       ‡ Şiddeti düşürülmüş uçlar ve sıfırlar için, eğer zeta <0.02 ise fazı kırılma frekansında 0'dan –180 dereceye dik olarak çizin. n.derece uçlar ve sıfırlar için, asimptotları ve tepe noktalarını gösterilenlerden n kere daha yüksek yapınız. (Örneğin, ikinci derece asimptot –40 dB/dec'dir, ve faz 0'dan – 180 derece ' ye gider). Frekansları değiştirmeyin, sadece grafik değerlerini ve eğimleri değiştirin.

 

   Yüksek dereceli uçlar ve sıfırlar için, sadece genlik grafiğinin eğimini ucun derecesiyle (veya sıfırla) çarpın ve fazın yüksek ve düşük frekans asimptotlarını filtrenin derecesiyle çarpın.

Örneğin:

İkinci derece gerçek uç :

  1. 0 dB'de düşük frekans asimptotunu çizin.
  2. -40 dB/decade'de yüksek frekans asimptotunu çizin.
  3. Çizgileri kırılma frekansında birleştirin.

 

-40dB/dec ucun derecesi 2 olduğu için kullanılmıştır. Üçüncü dereceden bir uç için asimptot –60 dB/dec olacaktır.

  1. 0 dB'de düşük frekans asimptotunu çizin.
  2. -180 derecede de yüksek frekans asimptotunu çizin.
  3. 0.1· w 0 ‘dan 10· w0 ‘a düz bir çizgiyle birleştirin.

-180 derece ucun derecesi 2 olduğu için kullanılmıştır. üçüncü dereceden bir uç için asimptot –270 derece olacaktır.

4. Üçüncü adımın sonuçlarını bir araya getirerek Bode diyagramını çizin:

Bireysel ifadeler çizildikten sonra, onları birbirine eklemek kolay bir meseledir. Aşağıdaki örneklere bakınız.

ÖRNEKLER

Aşağıdaki transfer fonksiyonları için Bode Diyagramları çiziniz.

 

           Örnek 1: Basit bir uç - Tam Çözüm

Bu transfer fonksiyonu için Bode Diyagramı çiziniz.

Adım 1. Transfer fonksiyonunu uygun formatta tekrar yazınız.

Bölen ve bölünenin her ikisindeki en düşük dereceli ifadeyi 1 yapınız. Bölünen 0 dereceli, bölen 1 dereceli bir polinomdur.

Adım 2. Transfer fonksiyonunu bileşenlerine ayırınız.

Transfer fonksiyonunun iki parçası vardır:

    • Sabit 3.3
    • s=-30'da bir uç

 

Adım 3. Her parça için Bode Diyagramını çiziniz.

Aşağıdaki diyagramda bu yapılmıştır:

•  Gri çizgi sabittir (3.3'luk bir büyüklük 10.4 dB'ye tekabül eder.) Faz 0 derecede sabittir.

•  30 rad/sc'lik uç mavi çizgidir. Kırılma frekansına kadar 0 dB'dir, ardında –20 dB/dec'lik bir eğimle düşer. Faz kırılma frekansını 1/10'una (3 rad/sn) kadar 0 derece, ardından lineer olarak kırılma frekansının 10 katında (30 rad/sn) –90 dereceye kadar düşer.

Adım 4.Üçüncü adımın sonuçlarını bir araya getirerek Bode diyagramını çizin:

Bütün asimptotik grafik şeffaf pembe çizgidir, tam yanıt ise siyah çizgidir.

Örnek-1'in Faz ve Genlik cevabı aşağıdaki animasyonda gösterilmiştir.

Örnek 2:Birden fazla uç ve sıfırlar - Tam Çözüm

Bu transfer fonksiyonu için Bode Diyagramı çiziniz.

Adım 1. Transfer fonksiyonunu uygun formatta tekrar yazınız.

Bölen ve bölünenin her ikisindeki en düşük dereceli ifadeyi 1 yapınız. Bölünen 1 dereceli, bölen 2 dereceli bir polinomdur.

Adım 2. Transfer fonksiyonunu bileşenlerine ayırınız.

Transfer fonksiyonunun 4 parçası vardır:

  • Sabit 0.1
  • s=-10'da bir uç
  • s=-100'de bir uç
  • s=-1'de bir sıfır

Adım 3. Her parça için Bode Diyagramını çiziniz.

Aşağıdaki diyagramda bu yapılmıştır:

  • Gri çizgi sabittir (0.1'luk bir büyüklük -20 dB'ye tekabül eder.) Faz 0 derecede sabittir.
  • 10 rad/sn'deki uç yeşil çizgidir. Kırılma frekansına kadar 0 dB'dir, ardından –20 dB/dec'lik bir eğimle düşer. Faz kırılma frekansını 1/10'una (1 rad/sn) kadar 0 derece, ardından lineer olarak kırılma frekansının 10 katında (100 rad/sn) –90 dereceye kadar düşer.
  • 100 rad/sc'deki uç mavi çizgidir. Kırılma frekansına kadar 0 dB'dir, ardından –20 dB/dec'lik bir eğimle düşer. Faz kırılmafrekansını 1/10'una (10 rad/sn) kadar 0 derece, ardından lineer olarak kırılma frekansının 10 katında (1000 rad/sn) –90 dereceye kadar düşer.
  • 1 rad/sc'deki sıfır kırmızı çizgidir. Kırılma frekansına kadar 0 dB'dir, ardından 20 dB/dec'lik bir eğimle yükselir. Faz kırılma frekansını 1/10'una (0.1 rad/sn) kadar 0 derece, ardından lineer olarak kırılma frekansının 10 katında (10 rad/sn) 90 dereceye kadar yükselir.

Adım 4.

Örnek-2'nin Faz ve Genlik

Üçüncü adımın sonuçlarını bir araya getirerek Bode diyagramını çizin:

Bütün asimptotik grafik şeffaf pembe çizgidir, tam yanıt ise siyah çizgidir.

cevabı aşağıdaki animasyonda gösterilmiştir.

 Örnek 3: Orijinde bir uç, uçlar ve sıfırlar - Tam Çözüm.

Bu transfer fonksiyonu için Bode Diyagramı çiziniz.

Adım 1. Transfer fonksiyonunu uygun formatta tekrar yazınız.

Bölen ve bölünenin her ikisindeki en düşük dereceli ifadeyi 1 yapınız. Bölünen 1. dereceden, bölen 2. dereceden bir polinomdur.

Adım 2. Transfer fonksiyonunu bileşenlerine ayırınız.

Transfer fonksiyonunun 4 parçası vardır:

  • Sabit 33.3
  • s=-3'da bir uç
  • s=0'de bir uç
  • s=-10'de bir sıfır

Adım 3. Her parça için Bode Diyagramını çiziniz.

Aşağıdaki diyagramda bu yapılmıştır.

  • Gri çizgi sabittir (33.3'luk bir büyüklük30 dB'ye tekabül eder.) Faz 0 derecede sabittir.
  • 3 rad/sn'deki uç yeşil çizgidir. Kırılma frekansına kadar 0 dB'dir, ardından –20 dB/dec'lik bir eğimle düşer. Faz kırılma frekansını 1/10'una (0.3 rad/sn) kadar 0 derece, ardından lineer olarak kırılma frekansının 10 katında (30 rad/sn) –90 dereceye kadar düşer.
  • Orijindeki uç mavi çizgidir. –20 dB'snlik eğimli düz bir çizgidir. 1 rad/sn'de 0 dB'den geçer. Faz –90 derecedir.
  • 10 rad/sc'deki sıfır kırmızı çizgidir. Kırılma frekansına kadar 0 dB'dir, ardından 20 dB/dec'lik bir eğimle yükselir. Faz kırılma frekansını 1/10'una (1 rad/sn) kadar 0 derece, ardından lineer olarak kırılma frekansının 10 katında (100 rad/sn) 90 dereceye kadar yükselir.

Adım 4. Üçüncü adımın sonuçlarını bir araya getirerek Bode diyagramını çizin:

Bütün asimptotik grafik şeffaf pembe çizgidir, tam yanıt ise siyah çizgidir.

Örnek-3'ün Faz ve Genlik cevabı aşağıdaki animasyonda gösterilmiştir.

 Örnek 4: Komplike bir fonksiyon - Tam Çözüm

Bu transfer fonksiyonu için Bode Diyagramı çiziniz.

Adım 1. Transfer fonksiyonunu uygun formatta tekrar yazınız.

Bölen ve bölünenin her ikisindeki en düşük dereceli ifadeyi 1 yapınız. Bölünen 2. dereceden, bölen 3. dereceden bir polinomdur.

Adım 2. Transfer fonksiyonunu bileşenlerine ayırınız.

Transfer fonksiyonunun 4 parçası vardır:

  • Sabit 6
  • s=-10'da sıfır.
  • s^2 +3s+50'nin köklerinde kompleks birleşik sıfırlar

 

Adım 3. Her parça için Bode Diyagramını çiziniz.

Aşağıdaki diyagramda bu yapılmıştır.

  • Gri çizgi sabittir (6'lik bir büyüklük 15.5 dB'ye tekabül eder.) Faz 0 derecede sabittir.
  • 10 rad/sn'deki sıfır yeşil çizgidir. Kırılma frekansına kadar 0 dB'dir, ardından +20 dB/dec'lik bir eğimle yükselir. Faz kırılma frekansını 1/10'una kadar 0 derece, ardından lineer olarak kırılma frekansının 10 katında +90 dereceye kadar yükselir.
  • Kompleks birleşik uçların grafikleri maviyle gösterilmiştir. Frekans 7.07 rad/sn'de şu tepeye sebep olurlar ;

Tepe yüksekliği :

bu mavi yuvarlakla gösterilmiştir. Faz düşük frekans asimptotundaki (0 derece)

'dan yüksek frekans asimptotunda

'a gider.

Adım 4. Üçüncü adımın sonuçlarını bir araya getirerek Bode diyagramını çizin:

Örnek-4'ün Faz ve Genlik cevabı aşağıdaki animasyonda gösterilmiştir.