Nyquist Kararlılık Ölçütü

        

        Nyquist kararlılık ölçütü; açık – döngü transfer fonksiyonu G(jw)H(jw) frekans cevabı eğrilerinden sistemin kapalı – döngü halinde kararlılığının tespitini sağlar.

Kapalı – döngü transfer fonksiyonu ;

         (1.0)   

olan sistemi ele alalım. Sistemin kararlı olabilmesi denklemin, l+G ( s)H(s) =0 tüm köklerin sol yarı s – düzleminde yer alması gerekir. Nyquist kararlılık ölçütü açık – döngü frekans cevabı ile l+G(s) H(s)'in sağ yarı s – düzleminde yer alan sıfırlarının sayısı arasında bir bağlantı kurar. Bu ölçüt ilk defa H. Nyquist tarafından bulunmuştur. Ayrıca kapalı – döngü sisteminin mutlak kararlılığını , kapalı – döngü kutuplarının bulunmasına gerek kalmadan grafiksel olarak eğrilerinden bulunmasını sağlar.

            Nyquist kararlılık ölçütü karmasık – değişken kuramına dayanır ve matematiksel olarak çıkarılması ve ispatı oldukça karmaşıktır. Buna karşılık bu çalışmalardan elde edilen sonuç oldukça basit ve kolayca uygulanabilir.

            Şekil-1'de G(jw)H(jw) frekans transfer fonksiyonunun, 1+GH düzlemi ve GH düzlemindeki kutupsal eğrileri gösterilmiştir. Şekilden de görüldüğü gibi, frekans alanı denklemi , l+G (jw )H (jw) birim vektörü ile G(jw)H(jw) açık – döngü frekans transfer fonksiyonunun , toplamına eşit olduğundan, 1+GH düzleminde çi z ilen 1+G (jw) )H (jw ) vektörü GH – düzleminde yer alan -1+j0 noktasından G (jw)H (jw) vektörünün üç noktasına çizilen vektör ile aynıdır. 1+GH düzleminde de orijinin 1+G (jw) H (jw) eğrisi ile çerçevelenmesi GH – düzleminde -1+j0 noktasının sadece G (jw)H(jw) eğrisinin çevrelenmesi ile aynı özelliktir. Buna göre kapalı – döngü bir sistemin kararlılığı açık – döngü frekans transfer fonksiyonu , G (jw)H (jw) kutupsal eğrisinin -1+j0 noktasını çevreleyip çevrelemediğini inceleyerek belirlenebilir. G (jw)H (jw) eğrisinin -1+j0 noktası etrafındaki çevreleme sayı s ı, -1+j0 noktasından G (jw)H (jw) noktasına hayali bir vektör çizip bu vektörü w=0 dan geçirmek ve w= sonsuz da sona erdikten sonra vektörün saat ibareleri yönündeki dönüş sayısı , N sayılarak bulunur.

G (jw)H (jw) düzlemi ve GH düzlemindeki kutupsal eğrilerinin Flash animasyonda gösterilmesi

            Kutupsal eksen takımında Nyq u ist ölçütünü uygulamak için ilk önce G (jw)H (jw)' nın kutupsal eğrisi elde edilir ve daha sonra bunun üzerinde Nyquist yolu çizilir. Nyquist yolu için ilk önce G (jw)H (jw) eğrisinin eksi gerçek eksen etrafında ayna simetrisi alınarak G (-jw)H (-jw) eğrisi elde edilir. Daha sonra yarıçapı sonsuz olan ve G (-jw)H (-jw) eğrisinin bitiş noktasından (w=0-) başlayan ve G (jw)H (jw) eğrisinin başlangıç noktasında (w=0 +) sona eren saat ibreleri yönünde bir çember çizilir. (Şekil 2.a) Bu yolun G (jw )H (jw ) eğrisinin baş l ama noktasında (w=0 + ) başlayan orijinde sona erip tekrar G (-jw )H (-jw ) ile devam eden ve sonsuz yarıçaplı çember ile sona eren yol -1+j0 noktasını çevreleme sayısı N olarak bulunur.

Nyquist Ölçütünün Flash animasyonla tanımı

Bu sonuçlara göre Nyquist ölçütü aşağıdaki şekilde ifade edilir.

Z=N+P             (1.1)

Z = denklemin , 1+G(s)H(s) sağ yarı s – düzlemindeki sıfırlarının (dolayısıyla sistemin kutupları) sayısı

N=Nyquist eğrisinin , G (jw )H (jw) – 1+j0 noktası etrafındaki çevreleme sayısı

            P= Açık – döngü transfer fonksiyonun , G ( s) H (s) sağ yan s – düzlemindeki kutuplarının sayısı. Eğer G(s) H (s) sağ yarı s – düzleminde kutuptan (gerçek kısımları, pozitif kökler) varsa sistem açık – döngü halinde kararsız olur. Bazı durumlarda döngünün kapsanması ile bir sistem kararlı duruma geçebilir. Genellikle P =0 olup açık – döngü sistem kararlıdır. Fakat yine de kontrol edilmelidir.

            Nyquist ölçütü uygulamasında P bilinmektedir ve N Nyquist eğrisinden bulunur. Bu değer ( P ,N) (1.1) nolu ifadede yerine konarak Z bulunur. Z =0 olduğu sürece sistem kapalı döngü halinde sistem kapalıdır. Bunun dışında;

( i ) Eğer P sıfıra eşit değil ise sistemin kararlı olabilmesi için ya Z = 0 olmalı ya da N = -P olmalıdır. Bu da Nyquist eğrisinin -1+j0 noktasının etrafında saat ibresinin tersi yönünde çevreleme sayısının P adet olmasını gerektirir.

( ii ) Eğer P =0, yani G (s)H(s)'nin sağ yarı s – düzleminde hiçbir kutbu yoksa Z = N olur. Bu durumda sistemin karalı olabilmesi için Nyquist eğrisinin , G (jw) H(jw) , -1+j0 noktası etrafındaki çevreleme sayısı sıfır (N= 0) olmalıdır. Böyle bir sistemin kararlılığını belirlemek için Nyquist yolunun tamamını çizmeye gerek yoktur . Bu durumda sistemin kararlı olup olmadığını bulmak için -1+ j0 noktasının G (jw)H (jw) eğrisinin içinde kalıp kalmadığına bakmak yeterlidir. Nyquist eğrisinin içine kaldığı bölge Şekil-2b ' de görüldüğü gibi eğrisinin artış yönüne göre sağ tarafını tarayarak bulunur. Bir sistemin kararlı olabilmesi için -1+j0 noktasının bu alanın dışında kalması gerekir.

            Burada kararlılık ölçütü olarak ele alınan -1+j0 noktası aynı zamanda Bode diyagramında 0 dB ve -180 dereceye karşılık gelmektedir. Eğer G (jw)H (jw) eğrisi -1+j0 noktasından geçiyorsa, denklemin kökleri veya kapalı – döngü kutuplan sanal eksen, jw üzerinde edilmeyen bir durumdur. İyi tasarlanmış kapalı – döngü sistemin hiçbir kutbunun sanal eksen üzerinde yer almaması gerekir.

Bağıl kararlılık: Faz ve kazanç payları

            Nyquist ölçütü bir sistemin bağıl kararlılığı hakkında uygun bir ölçüm sağlar. Kazanç katsayısının (K) çok büyük değerleri için sistem kararsızdır. Eğri -1+j0 noktasından geçerse sistem bu kazanç katsayısı ile kararsızlık sınırında kalır ve sistem dinamik olarak sönümsüz titreşimli bir davranış gösterir. Kazanç katsayısının küçük değerleri için ise, sistem kararlıdır.

    G (jw)H (jw) eğrisinin -1+j0 noktasına yakınlığı kararlılık payının bir ölçüsü olarak kullanılır. Bu ölçü ise faz payı ve kazanç payı cinsinden ifade edilir.

(i) Faz payı ve kazanç geçiş frekansı : Faz payı; kazanç geçiş frekansında, sistemi kararsızlık eşiğine getirmek için gerekli ilave faz gecikmesidir. Kazanç geçiş frekansı, açık döngü transfer fonksiyonu şiddetinin |G (jw )H (jw) | Faz payı, matematiksel olarak 180° artı kazanç geçiş frekansındaki faz açısın olarak tanımlanır ve aşağıdaki şekilde formüle edilir;

        (1.2)    

Nyquist diyagramı üzerinde faz payı, negatif gerçek eksen ile G (jw1)H (jw1) eğrisi ve birim çemberin kesiştiği noktaya çizilen çizgi arasında ölçülür (Şekil 3.a). Bu kesişme noktasına karşılık gelen frekans ise, w1 kazanç geçiş frekansıdır, kararlı bir sistemde kazanç payı pozitif ve kararsız bir sistemde ise negatiftir .

            Şekil 3.a ve b'de kutupsal ve logaritmik eğriler üzerinde kararlı ve kararsız bir sistemin faz payları görülmektedir. Logaritmik eğride kritik nokta 0 dB ve -180° çizgilerine karşılık gelmektedir. Faz payını bulmak için log – modül, Lm(G(jw)H(jw)) eğrisinin 0 dB çizgisinin kestiği yerden düşey bir çizgi çizilir. Bu çizginin faz açısı, G(jw)H(jw) eğrisinin kestiği nokta ile -180° çizgisi arasında kalan açıdır. Bu durumda, -180° çizgisi üzerinde kalan açı pozitif ve -180° altında kalan açı negatif olarak okunur.

Faz açısı analitik olarak doğrudan doğruya açık – döngü transfer fonksiyonu modül denklemi |G (jw )H (jw) | birim değere eşitlenerek hesaplanabilir. Önce eğrinin birim çemberi kestiği yerdeki w1 kazanç geçiş frekansı olan s bulunur. Daha sonra w1 değeri faz açısı denkleminde, yerine konarak bu noktadaki faz açısı bulunur. Bulunan faz açısı (1.2) denkleminde değerlendirildiğinde faz payı bulunmuş olur.

(ii) Kazanç payı (Kp) ve faz geçiş frekans ; Kazanç payı, faz açısının -180° ye eşit olduğu yerdeki modül değerinin tersine eşittir. Faz geçiş frekansı ise, faz açısının, -180° ye eşit olduğu yerdeki frekans değeridir. Buna göre kazanç payı aşağıdaki şekilde ifade edilir.

        (1.3)

Desibel (dB) cinsinden ise;

        (1.4)

şeklinde ifade edilir. Bu değer logaritmik diyagram üzerinde, Şekil 3.b de olduğu gibi faz açısı eğrisinin -180° çizgisinin kestiği yerden log – modül, Lm(G(jw)H(jw)) eğrisine bir düşey çizgi çizerek elde edilir.

Şekil-3 : Kazanç Payı ve Faz Payı

Düşey çizginin log – modül eğrisini kestiği nokta ile 0 dB çizgisi arasında kalan mesafe dB cinsinden kazanç payını verir. Faz açısı eğrisinin -180° yi kestiği noktadaki frekans değeri ise, kazanç geçiş frekansı olarak okunur. Kararlı sistemlerde kazanç payı dB cinsinden negatif değerli ve kararsız sistemlerde pozitif değerli olarak okunur. Logaritmik eğri üzerinde dB cinsinden bulunan kazanç payından, gerçek sayı cinsinden kazanç payı bulmak için aşağıdaki ifade kullanılabilir.

Kazanç payı analitik olarak; ilk önce faz açısı denklemini -180° ye eşitleyerek G(jw)H(jw) eğrisinin eksi negatif ekseni kestiği yerdeki frekans değeri olan faz geçiş frekansı bulunur. Bu değer, modül denkleminde yerine konarak eğrinin bu ekseni kestiği yerdeki büyüklüğü elde edilir ve bunun tersi alınarak kazanç payı (KP) bulunmuş olur. Eğer G(jw)H (jw) eğrisi negatif gerçek ekseni -1+j0 noktasının sağında kesecek olursa değeri birim değerden küçük olacak ve buna karşılık kazanç payı ise, birim değerden büyük olacaktır. Bu durum kararlı bir sisteme karşılık gelir. Logaritmik diyagram üzerinde kararlı sisteme karşılık gelen faz geçiş frekansındaki birden küçük modül değeri log – modül diyagramında dB cinsinden negatif değerli olarak okunacaktır. Buna karşılık kararsız bir sistemde G(jw)H(jw) eğrisi -1+j0 noktasının solundan geçeceği için değeri birden büyük olurken, kazanç payı birden küçük olacaktır. Birden büyük sayıların log – modül eğrisi üzerindeki değeri de dB cinsinden pozitif değerli olarak elde edilecektir.

            Kararlı bir sistem için kazanç payı, sistemin kararsızlık sınırına gelene kadar kazancının ne kadar artabileceğinin bir göstergesidir. Kararsız bir sistem için kazanç payı ise, sistemin kararlı hale getirilmesi için kazancının ne kadar düşürülmesi gerektiğini belirler.

            Birinci ve ikinci dereceden sistemlerin kutupsal eğrileri negatif gerçek ekseni kesmediklerinden bunların kazanç paylan sonsuzdur. Kuramsal açıdan bu sistemler kararsız yapılamazlar.

            Bağıl kararlılığın belirlenmesi için tek başına ne kazanç payı ne de faz payı yeterli değildir, her ikisinin de bilinmesi gerekir. Bununla birlikte, kararlı bir sistemde her ikisinin de pozitif değerli olması gerekir.

            Kontrol sistemlerinin tasarım özelliklerinin belirlenmesinde, faz ve kazanç payları emniyet payları olarak ifade edilir. Sistemden iyi bir dinamik davranış elde etmek için faz payının 30° ile 60° arasında kazanç payının en az 6 dB (2) veya 8 dB (2,5) büyük olması gerekir. Bu değerler sistem elemanlarında meydana gelebilecek değişimlere karşı sistem kararlılığını garantilemiş olur. Faz ve garanti paylan, kapalı döngü sistemin etkin sönüm oranının kaba bir şekilde hesaplanmasına olanak vermekle birlikte, bunlar kontrol sistemleri tasarımında veya sistemlerin kazanç ayarlamalarında uygun birer araçtır.

NYQUİST EĞRİLERİNİN MATCAD ve MATLAB KULLANILARAK ÇİZİLMESİ